本文是一篇工程硕士论文，主要研究成果如下： （1）由于增强对流域物质点法质点作用域形状的任意性，无法给出三维增强对流域物质点法形函数及其导数的解析表达式，本文利用等参元和高斯积分法，推导了形函数及其导数的可编程表达式。建立了增强对流域物质点法隐式求解框架，详细阐明了整体刚度矩阵的组装方案，给出了隐式增强对流域物质点法计算流程。
第一章 绪论
1.1 选题背景与意义
随着社会经济的发展，国家大量投入基础设施建设项目，产生了许多人类改造自然的工程活动，这些工程活动为人们的生产生活带来便利的同时，也带来了许多地质灾害的隐患[1, 2]。边坡是人类工程活动中最基本的地质环境之一，其主要表现形式为原始地质结构形成的岩质边坡和人类堆积土体形成的堆积边坡等[3]。根据中华人民共和国自然资源部公布的资料，2020 年全国发生地质灾害 7840起，其中滑坡灾害 4810 起，占总自然灾害总数的 61%，造成上百人伤亡，直接经济损失 50.2 亿元。边坡灾害严重威胁着人类的生命和财产安全，同时也对工程界和科学界的研究人员带来巨大的挑战。
边坡破坏的预测预报研究一直是岩土工程领域的重点课题，主要涉及边坡的稳定性研究和边坡破坏过程及结果的分析。传统边坡的研究主要集中在边坡的稳定性方面，随着城市化进程的发展和人类居住环境的变化，人们对边坡破坏的预测提出了更高的要求，不仅要预测边坡的稳定性，还要对边坡破坏后的范围进行预测，评估边坡破坏后的对人类生活环境的影响。尽管边坡的研究一直受到研究人员和工程技术人员的重视，但由于边坡中常包含如层面、沉积间断面、片理、节理、裂隙、裂缝、软弱夹层以及断层破碎带等结构面，导致边坡的变形伴随着复杂的材料非线性和几何非线性的问题[4, 5]，至今仍有很多问题没有得到解决，因此，对边坡破坏进行研究是有意义的。
数值模拟方法因为其快捷、安全和低成本的优点，已经成为研究边坡破坏机理的主要手段之一[6]。但由于受到理论模型和数值方法本身的限制，在模拟边坡破坏过程中仍面临许多困难。传统基于网格的计算方法如有限单元法，在处理大变形问题时会遇到网格畸变的难题[7]。离散元法能够在一定程度上减少对网格的依赖性，但由于其方法本身的限制和对计算的高要求使得很难应用于大尺度问题的模拟[8, 9]。无网格法的出现摆脱了对网格的依赖，为模拟边坡破坏这种伴随着大变形与非连续特性的问题提供了可能，SPH 法作为应用时间最久的无网格法之一，也存在固有缺陷，如形函数较复杂导致计算量巨大，形函数不具插值特性导致边界条件施加困难[10-12]，每次计算时搜索临近物质点耗时严重[13]，积分时间步长随粒子间距减小而减小造成求解缓慢等[14]。
1.2 物质点法的研究现状
物质点法是通过不断改进质点网格法（PIC）发展而来的一种新型无网格方法，它结合了拉格朗日法（Lagrangian）和欧拉法（Eulerian）的优势又避免了这两种方法的劣势。其基本思想如下：将连续体离散为一系列携带离散区域所有信息的质点的集合，通过形函数建立质点与背景网格之间的映射关系，将质点信息映射到背景网格结点（如图 1-1a），在背景网格结点上求解动量守恒方程，得到更新后背景网格结点上的值（如图 1-1b），将背景网格结点上的信息映射回质点（如图 1-1c），更新质点信息（如图 1-1d），循环计算离散体中的所有质点（如图1-1e），此时间步计算结束，丢弃发生变形的背景网格（清理背景网格节点上储存的数据），下个时步使用全新背景网格（如图 1-1f）。从计算流程可以看出，物质点法的整个计算过程中物质点与背景网格固定联系，不需处理欧拉法中的对流项，方便了边界条件的施加，并且物质点法在每一个时间步的计算都使用新的背景网格，有效避免了网格畸变问题，因此非常适合求解边坡破坏这种大变形问题[17]。
第二章 物质点法理论基础
2.1 物质点法控制方程及其弱形式
2.1.1 物质点法控制方程
为了能够准确的分析物体的运动状态，需要选取一个参考物（参考构形），这个参考物既可以是初始构形（initial configuration）也可以是现时构形（current configuration）。
初始构形描述物体在 t=0 时刻的初始状态Ω0，其位置 X 不随时间 t 改变，更容易描述与变形历史相关的问题，完全拉格朗日格式选取初始构形为参考构形。现时构形描述物体在 t 时刻的状态Ω，其位置 x 随时间 t 变化，更适合用来描述涉及材料大变形的问题，以现时构形为参考构形的方法叫更新拉格朗日格式。物质点法采用更新拉格朗日格式建立控制方程[22]：
在物质点法中，质点的个数以及每个质点所携带的质量在整个计算过程中保持不变[87]，因此自动满足质量守恒方程（2-1）。动量守恒方程（2-2）中含有积分算法，直接求解困难较大，通常将动量守恒方程转换为其弱形式（虚功方程）再求解[17]。
2.2 物质点法空间离散
在物质点法中，连续体被离散为一系列质点，用离散的质点表示质点作用域并且携带质点作用域的所有信息。质点通过质点特征函数χ𝑃(𝑥)来定义，该函数仅在质点作用域内非零。
物质点法动量守恒方程的求解方案可分为隐式时间积分算法和显式时间积分算法[85]。隐式时间积分算法一般是无条件稳定的，可以选取较长的时间步，但该方法每个时间步内都需求解方程组，单步计算量大，比较适用于低频响应问题[127]。显式时间积分算法是有条件稳定的，对时间步的要求较高[85, 125]，时间步长远小于隐式时间积分算法，比较适用于荷载作用时间短、变化快和系统响应频率快的问题[92]。
显式时间积分算法根据更新位置的不同可分为 USF 格式、USL格式和 MUSL格式，具体区别如图 2-2 所示：
隐式时间积分算法主要分为两类：第一类是在物质点法显式积分算法的基础上，在求解离散结点处的动量守恒方程时，加速度项和内力项掺入下一时刻速度值，然后通过迭代法求解动量守恒方程，得到下一时刻的速度值[44-46]。第二类是基于传统有限元 FEM 算法推导的标准物质点法的隐式算法，将质点视为传统有限元中的高斯积分点，完成背景网格结点量的积分计算，动量守恒方程的表述完全采用有限元中常用的参数表达方式[48-51]。
第三章 三维增强对流域物质点法形函数推导及隐式求解方案建立 ................................ 21
3.1 三维增强对流域物质点法形函数及其导数的推导 ............................ 21
3.2 三维增强对流域物质点法隐式求解方案的建立 ........................................... 27
第四章 隐式增强对流域物质点法计算程序设计与实现 ........ 34
4.1 隐式增强对流域物质点法程序设计 .................................... 34
4.1.1 数据的储存与读取 ............................................... 34
4.1.2 模型的建立与离散 .................................... 35
第五章 隐式增强对流域物质点法程序验证与工程应用 ........ 52
5.1 隐式增强对流域物质点法程序验证 ............................. 52
5.1.1 三维弹性自重柱问题 ............................................... 52
5.1.2 均质边坡问题试验对比 ...................................... 56
第五章 隐式增强对流域物质点法程序验证与工程应用
5.1 隐式增强对流域物质点法程序验证
5.1.1 三维弹性自重柱问题
三维弹性分层自重柱模型如图 5-1 所示，柱长 AB 和柱宽 BC 均为 10m，柱高 AD 为 20m，底部 ABCD 面完全固定。在 10m 高度设置材料分界面，材料分界面上层为玄武岩，下层为闪长岩。模型中心橙色实心部分为监测点布置部位。
第六章 结论与展望
6.1 结论
本文以现有增强对流域物质点法理论为基础，对其进行发展与完善，设计并自主开发了三维隐式增强对流域物质点法程序，使用该程序模拟分析了渣土堆排场土体滑坡变形破坏过程。主要研究成果如下：
（1）由于增强对流域物质点法质点作用域形状的任意性，无法给出三维增强对流域物质点法形函数及其导数的解析表达式，本文利用等参元和高斯积分法，推导了形函数及其导数的可编程表达式。建立了增强对流域物质点法隐式求解框架，详细阐明了整体刚度矩阵的组装方案，给出了隐式增强对流域物质点法计算流程。
（2）基于面向对象的 C++语言，设计并自主开发了三维隐式增强对流域物质点法程序。完整地构建了质点类、网格类、初始化类、材料属性类、映射函数类、核心计算类和输出类，实现了隐式增强对流域物质点法数据及相关操作的封装。
（3）隐式增强对流域物质点法相比显式物质点法和显式有限单元法能在很大程度上提高计算步长；在弹性柱问题中隐式增强对流域物质点法的计算效率低于有限单元法；在边坡变形破坏问题中，隐式增强对流域物质点法的计算效率和计算精度均高于受限于网格畸变问题的有限单元法。
（4）使用隐式增强对流域物质点法程序对北京某钢材加工厂旁渣土堆排场工程实例进行了分析，并考虑了地基对边坡变形的影响，结果表明：隐式增强对流域物质点法可以分析边坡的失稳破坏过程，能够让人更为直观、深入、系统地描述边坡的破坏机制以及评估破坏带来的风险，为相关管理部门提供决策依据。
参考文献（略）