第 1 章 引言
1.1问题提出的背景
基于微积分如此重要的价值与地位，顺应时代发展要求，目前许多国家包括我国把微积分内容引入中学数学课堂，进行数学课程改革，不断地探索有利于高中生发展的课程规划。我国现行的高中数学教材中“导数”的地位正在逐渐加强，新课程的高考增加了导数的内容。江苏《普通高中课程标准实验教科书（选修1—2）•数学》编排了微积分的一块核心内容——导数，便是第3章《导数及其应用》：高中导数内容的引入既是对中学函数知识的补充和完善，也为今后进入大学进一步学习微积分奠定基础。导数的学习使学生对逼近思想、量变到质变的思想、变量思想、有限到无限的思想等有了新的感悟，发展了学生的数学思维能力，给学生提供了一种新的认识世界的思维模式，促进学生全面认识数学的价值（应用价值、科学价值、文化价值）。新课标对导数的基本指导思想是“强调对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习”。为了体现这种思想，新课程对导数内容处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式。而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数。这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质，避免了过多的极限知识冲淡甚至干扰对导数本质的理解。但是受高考的导向作用的影响，学生的实际学习现状是：把学习导数的主要任务定位在“套公式，做题”，不重视导数概念的学习，对于导数概念的理解仅限于对定义的机械记忆，即使记不住、不理解也无所谓。由此造成学生不理解导数本质，遇到陌生的实际问题无从下手，无法对实际问题建立正确的导数模型。
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1.2提出问题
从访谈中了解到，教师普遍深切感受到学生在导数学习中出现明显的有别于其它章节学习的特别现象：错误频现，屡纠屡错。导数是教师们公认的教学难点，也是学生们公认的学习难点。萨顿（Sutton）和韦斯特（West）经研究发现，一些错误的概念和认知一旦形成后，即便是经过反复教导和纠正，却仍很难去改变它们。因此，教师应研究教学策略在教学过程中尽可能地去避免学生出现错误概念和认知。为此，本文主要研究以下两个问题:
1.学生在导数学习中存在哪些常见错误? 依据认知学习理论分析这些错误产生的原因是什么？
2.学生的这些常见错误,可以通过哪些教学策略预防或减少? 通过教学设计，提出具体的导数教学策略建议。
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第2章 相关文献综述
2.1关于“导数及其应用”教学的研究
十七世纪，有许多科学问题亟待解决，主要有四类问题：1.求即时速度的问题；2.求曲线的切线的问题；3.求函数的最大值和最小值问题；4.求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力，这些问题成了促使微积分产生的因素。17 世纪微积分的产生是继欧几里得几何之后，全部数学中的一个最伟大的创造。1908 年，德国数学家 F•克莱因主张将微积分引入中学教学，鉴于微积分的重要作用与影响，现今大多数国家的高中课程中都有微积分的内容，微积分的教学研究与改革一直热闹地持续着。美国、日本、俄罗斯这三个国家的数学教育质量都比较高，美国总是走在课程改革的前沿，具有较先进的教学理念；日本和我国有着许多相似的文化传统；俄罗斯的数学一向以严谨著称，对我国建国以来的数学教育有许多影响。以下分析这三个国家的微积分教学与改革。80 年代，美国开始长达 10 年的微积分教学改革。这场改革的目的在于剥去臃肿的外衣，注重本质，发现能帮助学生深刻理解微积分思想的创造性方法。改革最初奉行“三原则”，即将微积分概念的三个侧面：图像，数值和符号同时展现，后来“三原则”添加了语言扩展成“四原则”[1]。他们认为不同的表征能够传达不同的信息，以几何、代数、算术、数值多元的表征方式充分展现极限概念，能获取更多的信息，符合个体认知规律，有利于个体理解。同时，经由这次“微积分革命”，美国的微积分教学体现出了注重对概念的理解，注重应用、分析的特点。这次改革影响深远，传播至全球。日本 1951 年开始在高中讲授微积分，此后微积分教学在日本一直占有重要位置。日本中学的微积分教学在理论要求较低，主要是让学生学习微积分的基本思想和方法。教材中，往往是通过直观图形与明显事例让学生理解微积分的基本概念和计算方法，例如，数列的极限和函数的极限的定义均在实例和图形的导入下采用定性的描述性定义，而不是采用“ —N”和“ 一 ”式的定量的精确定义。日本把教材中的重点放在了微积分方法的应用上[2]。面对新时代掀起的整个世界范围内的数学课程改革，俄罗斯有关微积分的教学也在大胆探讨、稳定实施的基础上有所改变。主张讲授大量的理论概念的方法被否定了，例如导数的概念通过实例，在直观意义下引入；在直观的基础上给出牛顿——莱布尼茨公式。整个课程标准与教材强调的是微积分的基本思想和方法，而不是数学分析的严格理论[2]。
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2.2关于学生数学“错误”及“教学策略”的研究
《现代汉语词典》中对“错误”的定义包含两方面内容：①不正确，与客观实际不符；②不正确的事件、行为等。本研究中涉及的“错误”，包含数学领域的数学知识学习过程中的特性，所以与一般意义的错误定义有一定差别。郑毓信[3]认为：有些教师往往把学生在学习过程中产生的各种不同于“标准观念”的想法或做法看成是错误的。这里的“标准观念”是指教科书、权威专家或者教师自身的观念。本研究采用袁振国对教学策略的定义：在教学目标确定以后，根据已定的教学任务和学生的特征，有针对性地选择与组合相关的教学内容、教学组织形式、教学方法和技术，形成的具有效率意义的特定教学方案。教学策略具有综合性、可操作性和灵活性等基本特征[4]。顾泠沅根据教学策略的构成因素，将教学策略分为内容型、形式型、方法型和综合型。内容型策略是以教学内容为中心的策略。形式型策略是以教学组织形式为中心的策略。方法型策略是以教学方法和技术为中心的策略。综合型策略是内容、形式、方法三种类型的综合，更多地以教学经验为基础。无论是采用哪一种教学策略，都是以确保学生对数学知识的正确习得为最终目标的。本研究针对学生在“导数及其应用”学习中出现的常见错误所采取的教学策略主要是方法型策略。
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第 3 章 研究方法.....16
3.1 研究的过程.......16
3.2 研究对象的选取......17
3.3 资料、数据的收集方法......17
3.4 分析工具的创建......20
第 4 章 研究结果的分析与讨论一：学生的主要错误类型 .....23
4.1 高三学生的测试情况....23
4.2 学生错误类型的统计分析.........24
4.2.1 用切线旧概念替代切线新概念使用....24
4.2.2 概念名称、内容之间脱节 .......30
4.2.3 公式和法则记忆、运用有误....37
4.2.4 解逆向问题时充要条件错乱....39
第 5 章 研究结果的分析与讨论二....45
5.1 同化切线的新旧概念.....45
5.2 紧密联系概念名称、内容........51
5.3 组织分类记忆、辨别使用公式法则.....68
5.4 训练逆向思维，精确逻辑认知 ......72
第5章 研究结果的分析与讨论二：避免常见错误的教学对策研究
5.1同化切线的新旧概念
对题组一的错误分析中，我们看到学生对圆的切线概念作了错误的推广：与曲线有且只有一个公共点的直线是曲线的切线。正如曹才翰先生所指出的“就数学概念学习而言，‘经验’对新概念学习的影响更多地表现在概念系统扩张上，有的学生能够从过去的经验中找出与新概念相关的概念，在比较它们异同的基础上建立起新的概念，而有的学生则会受这种经验的干扰，产生错误的概念理解”。 “形成概念之所以遇到困难，就是与把过去经验不恰当地迁移到新条件中有关的”[18]。过去的经验对于数学概念系统的扩张主要是学生对经验的归纳、类比、归属（化归）等，它们的有利和不利影响在数学概念系统扩展中同样存在着。先期的经验又对概念运用产生阻碍作用，这种阻碍常常表现为种种潜在的限制，这种限制表现为对新概念的拒绝。通过对学生的解题、反思及访谈可以发现其中许多人的切线概念表征中，仍认为曲线的切线与曲线有且只有一个公共点。由此可见，学生虽然学习了一般曲线的切线概念，但他们只是表面上接受了新概念，而在以后运用时，却又自然地回到限制前的状态（即在使用时不自觉地对概念增加了若干限制），使用了圆的切线概念来判断一般曲线的切线。
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结论
在第一阶段的研究中，笔者通过课堂观察、访谈、测试、统计等途径寻找和梳理出了学生在“导数及其应用”中的 4 类常见错误：
1. 用切线旧概念替代切线新概念使用；
2. 概念名称、内容脱节；
3. 公式和法则记忆、运用有误；
4. 解逆向问题时充要条件错乱。
在第二阶段的研究中，笔者采取了以下相应的教学对策来预防或减少学生在“导数及其应用”学习过程中的常见错误：
1.同化切线的新旧概念。利用已有知识创设认知冲突；促进新旧知识相互作用，建构切线概念新体系。避免切线旧概念阻碍切线新概念的运用。
2.紧密联系概念名称、内容。重视导数概念的形成过程，提供丰富的实例（生活实例、物理实例、切线斜率），促进导数概念本质的理解；建立恰当的概念心理表征，促进导数概念的理解；对学生进行名称与概念内容之间的激活训练。从而避免学生只知导数名称不知本质、不会建模，或概念内容之间不能正确转换。
3.组织分类记忆、辨别使用公式与法则。采用“组织分类法”记忆公式与法则；利用变式进行辨别学习，正确使用公式法则。
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参考文献（略）