第一章 绪论
1.1 课题研究背景和意义
1.1.1 课题研究背景
拱结构由于具有良好的跨越能力、承载能力，及结构轻盈美观等特点，在国内外桥梁工程、水利工程、机械工程和航天工程等领域都得到广泛应用。根据拱结构的力学原理，在受到竖向荷载作用下时，其支承处会受竖向反力和水平推力的共同作用，所以结构主要承受轴向压力，而所受弯矩则会比相同跨径的梁的弯矩小很多。因此，拱结构又被广泛应用在大跨度结构中。
拱桥是拱结构应用较常见的一种形式，我国在很久以前就建造出了许多优秀的石拱桥，最为人们所熟知的莫属建于公元 595 年的河北赵州桥（图 1-1a），到了现代，在 2000年时，山西省建成了全球跨径最大的石拱桥——丹河大桥（图 1-1b），全桥长 414 米，其中主跨为 146m。改革开放后，我国经济不断迅速发展，在经济刺激推动下，我国桥梁建设获得了突飞猛进的发展，先后建设了很多技术复杂、外型美观的拱桥，如上海卢浦大桥，采用中承式拱桥方式，大桥主桥为全钢结构，全长 3.76 公里，其中主桥长 750米（图 1-1c），广州新光大桥（图 1-1d），大桥主桥全长 1082 米，主拱为 428 米，是国内著名的新型拱桥之一。
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1.2 拱结构平面外稳定性的研究现状
当施加在拱结构上的外力达到一定值时，所产生的内力平衡状态会逐渐过渡到空间弯扭形式的平衡状态，此时会突然产生较大的平面外侧倾弯扭变形，这便是拱的平面外失稳。在静力荷载作用下，研究拱平面外失稳的方法包括解析法、特征值法、有限元数值分析法和实验方法，拱的平面外稳定性研究具体如下：
Timoshenko[5]基于曲梁理论，使用受力平衡分析方法求得圆弧拱在全跨径向均布荷载及均匀弯矩作用下，拱的平面外失稳临界荷载。
Kee[6]在平均渐进法和切线法的基础上对圆弧拱平面外弯扭失稳问题展开了研究；
Yang 和 Kang 等[7-8]基于虚功原理与能量法得到拱在均布受弯、受压作用下平面外的稳定平衡方程，并推导出其临界荷载。
斯米尔诺夫[9]用能量法求出了两端固接圆弧拱在全跨径向均布荷载作用下的失稳临界荷载的精确解。
Pi 等[10-12]对开口薄壁截面圆弧浅拱在全跨均布荷载作用下的扭转失稳问题展开了研究，结合 Rayleigh-Ritz 法与最小势能原理求出了在两端铰接的边界条件下的拱平面外弹性扭转失稳荷载。
Lim 和 Kang[13]建立了薄壁拱的弹性屈曲理论，由最小总势能原理求出控制微分方程，推导出圆弧拱在均布力矩作用下的平面外失稳闭合解。
李国豪[1]归纳并总结了拱桥平面内失稳和平面外失稳的临界荷载计算方法和理论解。项海帆[4]提出了传统系杆拱桥面外失稳的实用计算方法。
Liu 等[14-33]在 Ritz 法的基础上，分别推导了出圆弧拱、抛物线拱和悬链线斜靠式拱肋系侧倾面外失稳临界荷载解析解，同时推导了在平面内弹性转动约束且平面外铰接条件下，圆弧拱在任意位置径向集中力荷载作用下的平面外弹性失稳的临界荷载解析解，结果表明，当集中力荷载越接近拱顶位置，结构越容易发生面外弯扭失稳。
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第二章 单轴对称截面圆弧拱平面外稳定性基本理论
2.1 拱结构平面外稳定性基本概念
拱结构的空间弯扭失稳形式与平面外失稳形式具有相同的特性。当外力荷载作用在拱结构上时，其结构会产生轴力、弯矩和剪力等内力，随着内力的做功并达到其临界点时，拱结构将从初始的平面内内力平衡状态过渡到平面外变形的平衡状态，这一行为即为为拱结构的平面外失稳。拱结构平面外失稳过程包含平面内变形的内力平衡状态和平面外变形的平衡状态，所以，在求解拱结构平面外失稳荷载临界值之前，需要对平面外失稳前的平面内内力状态进行分析。具体研究步骤如下：
（1）利用弹性力学原理和线性代数方法，建立拱的坐标系及单位向量；由新建的坐标系，基于铁木辛柯一阶剪切原理，构建考虑了剪切变形的曲率函数和应变函数。
（2）由卡氏第二定理和力学方法，求解拱结构在复杂荷载和复杂约束条件下平面外失稳前的轴力、弯矩和剪力。
（3）利用 Rayleigh-Ritz 法和势能原理，构建拱结构的平面外总能量方程，根据势能驻值原理，最终得到平面外失稳临界荷载的解析解。
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2.2 拱的曲率和应变函数
在拱的平面外弯扭失稳研究中，应变函数及曲率的表达式准确与否直接影响到后面计算的精度，以往的研究大都忽略剪切变形对应变函数和曲率函数的影响，本文基于Lu 和 Pi[49]的研究方法，利用三维坐标变换换矩阵的方法重新推导了考虑剪切变形的圆弧拱的曲率函数和应变函数。
首先以右手原则建立拱固定的原始坐标系 OXYZ，原始坐标系的坐标向量 Px、Py和 Pz分别是沿 OX、OY 和 OZ 轴的基础向量；接着以拱几何形状为基础建立几何坐标系 oxys，其中几何坐标系的向量 px、py和 ps分别是沿 ox、oy 和 os 轴的基础向量；最后，以拱发生的变形为基础，建立随动坐标系 o*x*y*s*，随动坐标系统的向量 qx、qy和 qs分别是沿 ox*、oy*和 os*轴的基础向量。三个坐标系的力学图示，如图 2-1 的所示。
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第三章 平面内弹性约束单轴对称截面拱平面外失稳分析........................21
3.1 拱平面外失稳前的轴力和弯矩...............................21
3.2 平面内弹性约束 T 型截面拱平面外失稳临界荷载解析解.......................23
第四章 圆弧拱平面外失稳的有限元数值模拟分析.............................37
4.1 概述.................................37
4.2 有限元模拟对象..................................37
第五章 结论和展望.......................................61
5.1 结论..........................61
5.2 展望............................62
第四章 圆弧拱平面外失稳的有限元数值模拟分析
4.1 概述
本章利用有限元软件 ANSYS 建立了单轴对称的 T 型截面圆弧拱的有限元模型，进行了数值模拟，采用常见的扭簧来提供弹性转动约束，通过一种新构思的支座来满足拱平面内弹性转动约束平面外铰接的边界条件。选用铝材作为有限元模拟分析对象，分析了在集中荷载作用下，不同矢跨比、不同拱脚约束方式以及相应约束方式下不同扭转刚度等对拱平面外失稳临界荷载的影响，并对比了不同截面类型的计算结果的区别。有限元数值分析结果与理论结果进行相应对比，并验证理论的准确性。
本章对圆弧拱的弹性平面外失稳进行有限元模拟分析，在相关的研究中，分析拱的平面外失稳对材料要求具有完好的可塑性、较低的弹性模量和相对较大的强度。铝材的基本性能可以较好地符合要求，其具有高强度且弹模相对较低的特点，本文选用铝材作为拱结构的材料进行有限元模拟。
铝材的基本力学性能会受到其种类的影响，同样也会因加工工艺，热压灌压力及高温处理时长而有较大区别，相同型号的材料各项力学性能可能会有所差异。所以，在展开圆弧铝拱的有限元模拟前，本文对模拟对象所使用的铝材进行相关性能测试，获取了材料的弹性模量、泊松比、屈服强度和抗拉强度，这样可以为有限元模拟提供参数，为此，本文通过对从生产和加工铝材的厂家获得的铝材进行拉伸实验，得到材料上述参数。
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第五章 结论和展望
5.1 结论
本文在已有的拱平面外稳定性研究的基础上，利用理论分析、有限元数值模拟的方式对单轴对称截面拱在弹性约束条件下的平面外稳定性进行了研究，就本文的主要工作进行总结，论文得出如下结论：
1、构建拱新的曲率和应变函数，利用能量法和力法，求解出失稳前拱的轴力、弯矩和剪力，通过假定拱的面外位移函数，采用 ritz 法推出全铰接边界条件的拱在发生平面外弯扭失稳时的与失稳临界荷载 Qcr相关的一元二次方程。
2、由弹性约束的定义给出了平面内边界条件，得出失稳前拱平面内弹性约束条件下的轴力、弯矩和剪力，将考虑了平面内弹性约束后的相关参数，代替并得到此约束条件下的与 Qcr相关一元二次方程。
3、对平面内弹性约束拱的理论公式中的轴力进行算例分析可以发现，轴力随着圆心角首先迅速增大，达到其最大之后便会迅速减小。圆心角较小的浅拱，轴力随长细增大而增大的变化更显著，当长细比较小时，考虑剪切变形与否会产生一定的影响；圆心角 2Θ<50°时，平面内弹性转动约束的柔度参数ζ越大则轴力越大；当拱为浅拱时，轴力随柔度参数ζ增加而增加。
4、对平面内弹性约束拱的理论公式中的弯矩进行算例分析可以发现，随着圆心角的变大，弯矩首先迅速减小到最小值，之后便缓慢增加；长细比较大时弯矩会较小，且当长细比较大时，考虑剪切变形会对弯矩产生一定的影响，长细比在 0~45 范围内时，圆心角较小的浅拱的弯矩大于圆心角较大的拱；圆心角 2Θ=30°的浅拱长细比小于40 时，弯矩随ζ的增大而增大，在圆心角 2Θ=30°和 90°时，ζ的变化对弯矩几乎没有影响。
参考文献（略）